Teoria das Linhas de Transmissão: Observando o Coeficiente de Reflexão e a Onda Estacionária

Jul 29, 2023

Vários tipos de ondas na natureza se comportam fundamentalmente da mesma forma. Como uma voz que ecoa em um penhasco, as ondas elétricas são refletidas quando encontram uma mudança na impedância do meio em que viajam. A reflexão das ondas pode levar a um fenômeno interessante chamado onda estacionária. As ondas estacionárias são essenciais para a forma como a maioria dos instrumentos musicais produz som. Por exemplo, instrumentos de cordas não funcionariam sem a previsibilidade e os efeitos de amplificação das ondas estacionárias.

No entanto, no projeto de RF, as ondas estacionárias são indesejáveis ​​quando pretendemos transferir energia de um bloco para o próximo na cadeia de sinal. Na verdade, as ondas estacionárias podem afetar o desempenho de diferentes sistemas de RF e micro-ondas, desde câmaras anecóicas até aparelhos de uso diário, como fornos de micro-ondas.

Embora os conceitos de propagação e reflexão de ondas não sejam muito complicados, eles podem ser um pouco confusos no início. A melhor maneira de visualizar como as ondas se propagam e refletem em uma descontinuidade é traçar as equações de onda para diferentes configurações.

Neste artigo, primeiro derivaremos as equações necessárias e as usaremos para explicar o fenômeno das ondas estacionárias por meio de vários exemplos de formas de onda.

Primeiro, vamos derivar nossas equações. Eu sei que é chato, mas eles realmente nos ajudam a entender como as ondas se propagam e interagem entre si em uma linha de transmissão. No artigo anterior desta série, examinamos a resposta senoidal em estado estacionário de uma linha de transmissão e derivamos as equações de tensão e corrente. Aplicando vs(t) = Vscos(ωt) a uma linha, as ondas de tensão e corrente são:

\[v(x,t)= A cos(\omega t-\beta x) + B cos(\omega t+\beta x)\]

\[i(x,t)=\frac{A}{Z_0} cos(\omega t-\beta x)- \frac{B}{Z_0} cos(\omega t+\beta x)\]

Onde:

Essas equações correspondem à configuração mostrada na Figura 1 (a), onde a direção positiva do eixo x é escolhida como sendo da fonte até a carga. Se representarmos essas ondas com seus fasores, a onda de tensão que viaja para frente (ou incidente) e as ondas de tensão que viajam para trás (ou refletidas) serão, respectivamente, Ae-jβx e Bejβx, conforme mostrado na Figura 1 (a).

Em relação aos problemas de linhas de transmissão, geralmente é mais conveniente escolher a direção positiva do eixo da carga para a fonte, conforme mostrado na Figura 1(b). Para encontrar as novas equações, precisamos substituir x nas equações originais por ld. Conforme expresso na nova variável, d, a onda que se propaga para a frente torna-se:

\[Ae^{-j \beta x} = Ae^{-j \beta (ld)}=Ae^{-j \beta l}e^{j \beta d} = A_1 e^{j \beta d }\]

Onde A1 = Ae-jβl é uma nova constante. A partir daqui, você pode verificar que, no novo sistema de coordenadas, a onda refletida é B1e-jβd, onde B1 = Bejβl. Portanto, os fasores totais de tensão e corrente são mostrados nas Equações 1 e 2.

\[V(d)=A_1e^{j \beta d}+B_1e^{-j \beta d}\]

\[I(d)=\frac{A_1}{Z_0}e^{j \beta d}-\frac{B_1}{Z_0}e^{-j \beta d}\]

Estas equações facilitam o exame do efeito da carga na reflexão da onda porque, neste caso, a carga está em d = 0, simplificando as equações. Deixando d = 0, obtêm-se as seguintes equações no extremo da carga, conforme visto nas Equações 3 e 4.

\[V(d=0)=A_1+B_1\]

\[I(d=0)=\frac{A_1}{Z_0}-\frac{B_1}{Z_0}\]

Por exemplo, vamos considerar o caso em que a linha termina em circuito aberto. Com a saída em circuito aberto (ZL = ∞), a corrente de saída é obviamente zero. Da Equação 4, temos A1 = B1 e, portanto, a tensão total é V(d = 0) = 2A1.

Portanto, para uma linha de circuito aberto, a tensão refletida é igual à tensão incidente na saída, e a tensão total neste ponto é o dobro da tensão incidente. Da mesma forma, podemos usar as Equações 3 e 4 para encontrar a razão entre a onda refletida e a onda incidente para uma impedância de carga arbitrária ZL. Essa proporção é um parâmetro importante conhecido como coeficiente de reflexão, do qual falaremos em breve.

Usando as Equações 1 e 2, podemos encontrar a relação entre tensão e corrente (isto é, a impedância de entrada da linha de transmissão) em diferentes pontos ao longo da linha. Isso leva à Equação 5.